{l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=7$$

$$y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

4-ஐ 2x-y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

-3-ஐ x-2y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

8x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

-4y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

12-இலிருந்து 9-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 3.

$$5x+2y+3=48$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+2y=48-3$$

48-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 45.

$$5x+2y=45$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3-ஐ 3x-4y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4-ஐ 4x-2y-9-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

9x மற்றும் 16x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-12y மற்றும் -8y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

9-இலிருந்து 36-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -27.

$$25x-20y-27=48$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 27-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$25x-20y=48+27$$

48 மற்றும் 27-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 75.

$$25x-20y=75$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x+2y=45$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=-2y+45$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

-2y+45-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

பிற சமன்பாடு 25x-20y=75-இல் x-க்கு -\frac{2y}{5}+9-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

-\frac{2y}{5}+9-ஐ 25 முறை பெருக்கவும்.

$$-10y+225-20y=75$$

-20y-க்கு -10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-30y+225=75$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 225-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-30y=-150$$

இரு பக்கங்களையும் -30-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

x=-\frac{2}{5}y+9-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

5-ஐ -\frac{2}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-2+9$$

-2-க்கு 9-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=7$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=7,y=5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

4-ஐ 2x-y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

-3-ஐ x-2y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

8x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

-4y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

12-இலிருந்து 9-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 3.

$$5x+2y+3=48$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+2y=48-3$$

48-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 45.

$$5x+2y=45$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3-ஐ 3x-4y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4-ஐ 4x-2y-9-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

9x மற்றும் 16x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-12y மற்றும் -8y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

9-இலிருந்து 36-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -27.

$$25x-20y-27=48$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 27-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$25x-20y=48+27$$

48 மற்றும் 27-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 75.

$$25x-20y=75$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=7,y=5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

4-ஐ 2x-y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

-3-ஐ x-2y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

8x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

-4y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

12-இலிருந்து 9-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 3.

$$5x+2y+3=48$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x+2y=48-3$$

48-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 45.

$$5x+2y=45$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3-ஐ 3x-4y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4-ஐ 4x-2y-9-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

9x மற்றும் 16x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-12y மற்றும் -8y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

9-இலிருந்து 36-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -27.

$$25x-20y-27=48$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 27-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$25x-20y=48+27$$

48 மற்றும் 27-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 75.

$$25x-20y=75$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

5x மற்றும் 25x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 25-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

எளிமையாக்கவும்.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 125x+50y=1125-இலிருந்து 125x-100y=375-ஐக் கழிக்கவும்.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

-125x-க்கு 125x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 125x மற்றும் -125x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$50y+100y=1125-375$$

100y-க்கு 50y-ஐக் கூட்டவும்.

$$150y=1125-375$$

-375-க்கு 1125-ஐக் கூட்டவும்.

$$150y=750$$

இரு பக்கங்களையும் 150-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

25x-20y=75-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$25x-20\times 5=75$$

5-ஐ -20 முறை பெருக்கவும்.

$$25x-100=75$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 100-ஐக் கூட்டவும்.

$$25x=175$$

இரு பக்கங்களையும் 25-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=7$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=7,y=5$$