{l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-1$$

$$y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது \frac{2}{3}-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3y-2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+3=3y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+3-3y=-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-3y=-2-3$$

-2-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -5.

$$2x-3y=-5$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். x-ஐ 2y-5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

-2y-ஐ x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

2xy மற்றும் -2yx-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

-5x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7x.

$$-7x-6y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x-3y=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=3y-5$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

3y-5-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

பிற சமன்பாடு -7x-6y=1-இல் x-க்கு \frac{3y-5}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

\frac{3y-5}{2}-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

-6y-க்கு -\frac{21y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{35}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{33}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=1$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{3}{2} உடன் -\frac{5}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-1,y=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது \frac{2}{3}-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3y-2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+3=3y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+3-3y=-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-3y=-2-3$$

-2-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -5.

$$2x-3y=-5$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். x-ஐ 2y-5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

-2y-ஐ x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

2xy மற்றும் -2yx-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

-5x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7x.

$$-7x-6y=1$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-1,y=1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது \frac{2}{3}-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3y-2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+3=3y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+3-3y=-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-3y=-2-3$$

-2-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -5.

$$2x-3y=-5$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். x-ஐ 2y-5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

-2y-ஐ x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

2xy மற்றும் -2yx-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

-5x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7x.

$$-7x-6y=1$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

2x மற்றும் -7x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -14x+21y=35-இலிருந்து -14x-12y=2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

14x-க்கு -14x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -14x மற்றும் 14x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$21y+12y=35-2$$

12y-க்கு 21y-ஐக் கூட்டவும்.

$$33y=35-2$$

-2-க்கு 35-ஐக் கூட்டவும்.

$$33y=33$$

இரு பக்கங்களையும் 33-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=1$$

-7x-6y=1-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-7x-6=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 6-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7x=7$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-1,y=1$$