{l}{+6y+5z=820}{+3y+2z=610}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { + 6 y + 5 z = 820 } \\ { + 3 y + 2 z = 610 } \end{array} \right.$$

y, z-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$y=470$$

$$z=-400$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$6y+5z=820,3y+2z=610$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$6y+5z=820$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5z-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6y=-5z+820$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{6}\left(-5z+820\right)$$

-5z+820-ஐ \frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-\frac{5}{6}z+\frac{410}{3}$$

பிற சமன்பாடு 3y+2z=610-இல் y-க்கு -\frac{5z}{6}+\frac{410}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{5}{6}z+\frac{410}{3}\right)+2z=610$$

-\frac{5z}{6}+\frac{410}{3}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{5}{2}z+410+2z=610$$

2z-க்கு -\frac{5z}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{2}z+410=610$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 410-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{1}{2}z=200$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$z=-400$$

y=-\frac{5}{6}z+\frac{410}{3}-இல் z-க்கு -400-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-\frac{5}{6}\left(-400\right)+\frac{410}{3}$$

-400-ஐ -\frac{5}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{1000+410}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{1000}{3} உடன் \frac{410}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=470$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=470,z=-400$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6y+5z=820,3y+2z=610$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}820\\610\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&5\\3&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}820\\610\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}820\\610\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}820\\610\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-5\times 3}&-\frac{5}{6\times 2-5\times 3}\\-\frac{3}{6\times 2-5\times 3}&\frac{6}{6\times 2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}820\\610\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}820\\610\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 820+\frac{5}{3}\times 610\\820-2\times 610\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}470\\-400\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் z-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=470,z=-400$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$6y+5z=820,3y+2z=610$$

6y மற்றும் 3y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 6y+3\times 5z=3\times 820,6\times 3y+6\times 2z=6\times 610$$

எளிமையாக்கவும்.

$$18y+15z=2460,18y+12z=3660$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 18y+15z=2460-இலிருந்து 18y+12z=3660-ஐக் கழிக்கவும்.

$$18y-18y+15z-12z=2460-3660$$

-18y-க்கு 18y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 18y மற்றும் -18y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$15z-12z=2460-3660$$

-12z-க்கு 15z-ஐக் கூட்டவும்.

$$3z=2460-3660$$

-3660-க்கு 2460-ஐக் கூட்டவும்.

$$3z=-1200$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$z=-400$$

3y+2z=610-இல் z-க்கு -400-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3y+2\left(-400\right)=610$$

-400-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$3y-800=610$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 800-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=1410$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=470$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=470,z=-400$$