{c}{-7u-10v=116}{-7u+10v=-4}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { c } { - 7 u - 10 v = 116 } \\ { - 7 u + 10 v = - 4 } \end{array} \right.$$

u, v-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$u=-8$$

$$v=-6$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் u-ஐத் தனிப்படுத்தி u-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-7u-10v=116$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 10v-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7u=10v+116$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$u=-\frac{1}{7}\left(10v+116\right)$$

10v+116-ஐ -\frac{1}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}$$

பிற சமன்பாடு -7u+10v=-4-இல் u-க்கு \frac{-10v-116}{7}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-7\left(-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}\right)+10v=-4$$

\frac{-10v-116}{7}-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$10v+116+10v=-4$$

10v-க்கு 10v-ஐக் கூட்டவும்.

$$20v+116=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 116-ஐக் கழிக்கவும்.

$$20v=-120$$

இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$v=-6$$

u=-\frac{10}{7}v-\frac{116}{7}-இல் v-க்கு -6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக u-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$u=-\frac{10}{7}\left(-6\right)-\frac{116}{7}$$

-6-ஐ -\frac{10}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$u=\frac{60-116}{7}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{60}{7} உடன் -\frac{116}{7}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$u=-8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$u=-8,v=-6$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-10\\-7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{-10}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 10-\left(-10\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{20}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}116\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 116-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{20}\times 116+\frac{1}{20}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-6\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் u மற்றும் v-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$u=-8,v=-6$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-7u-10v=116,-7u+10v=-4$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -7u-10v=116-இலிருந்து -7u+10v=-4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7u+7u-10v-10v=116+4$$

7u-க்கு -7u-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -7u மற்றும் 7u ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-10v-10v=116+4$$

-10v-க்கு -10v-ஐக் கூட்டவும்.

$$-20v=116+4$$

4-க்கு 116-ஐக் கூட்டவும்.

$$-20v=120$$

இரு பக்கங்களையும் -20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$v=-6$$

-7u+10v=-4-இல் v-க்கு -6-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக u-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-7u+10\left(-6\right)=-4$$

-6-ஐ 10 முறை பெருக்கவும்.

$$-7u-60=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 60-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7u=56$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$u=-8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$u=-8,v=-6$$