{l}{x-y=5}{5x-8y=19}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 5 } \\ { 5 x - 8 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=7$$

$$y=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-y=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=y+5$$

பிற சமன்பாடு 5x-8y=19-இல் x-க்கு y+5-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(y+5\right)-8y=19$$

y+5-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$5y+25-8y=19$$

-8y-க்கு 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3y+25=19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 25-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3y=-6$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=2$$

x=y+5-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=2+5$$

2-க்கு 5-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=7$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=7,y=2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{-8-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{-8-\left(-5\right)}&\frac{1}{-8-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\19\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 19\\\frac{5}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 19\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=7,y=2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-y=5,5x-8y=19$$

x மற்றும் 5x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5x+5\left(-1\right)y=5\times 5,5x-8y=19$$

எளிமையாக்கவும்.

$$5x-5y=25,5x-8y=19$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 5x-5y=25-இலிருந்து 5x-8y=19-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x-5x-5y+8y=25-19$$

-5x-க்கு 5x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 5x மற்றும் -5x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-5y+8y=25-19$$

8y-க்கு -5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=25-19$$

-19-க்கு 25-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=6$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=2$$

5x-8y=19-இல் y-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5x-8\times 2=19$$

2-ஐ -8 முறை பெருக்கவும்.

$$5x-16=19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 16-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=35$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=7$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=7,y=2$$