{l}{x-5y=-6}{-4x+y=5}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 5 y = - 6 } \\ { - 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-1$$

$$y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-5y=-6,-4x+y=5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-5y=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=5y-6$$

பிற சமன்பாடு -4x+y=5-இல் x-க்கு 5y-6-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-4\left(5y-6\right)+y=5$$

5y-6-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$-20y+24+y=5$$

y-க்கு -20y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-19y+24=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 24-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-19y=-19$$

இரு பக்கங்களையும் -19-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=1$$

x=5y-6-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=5-6$$

5-க்கு -6-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-1,y=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-5y=-6,-4x+y=5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&-\frac{5}{19}\\-\frac{4}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\left(-6\right)-\frac{5}{19}\times 5\\-\frac{4}{19}\left(-6\right)-\frac{1}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-1,y=1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-5y=-6,-4x+y=5$$

x மற்றும் -4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-4x-4\left(-5\right)y=-4\left(-6\right),-4x+y=5$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-4x+20y=24,-4x+y=5$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -4x+20y=24-இலிருந்து -4x+y=5-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x+4x+20y-y=24-5$$

4x-க்கு -4x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -4x மற்றும் 4x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$20y-y=24-5$$

-y-க்கு 20y-ஐக் கூட்டவும்.

$$19y=24-5$$

-5-க்கு 24-ஐக் கூட்டவும்.

$$19y=19$$

இரு பக்கங்களையும் 19-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=1$$

-4x+y=5-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-4x+1=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x=4$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-1,y=1$$