\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { 2 } { 3 } y = 2 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = - 2 } \end{array} \right.
x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்
x=-1
y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5
விளக்கப்படம்
பகிர்
நகலகத்துக்கு நகலெடுக்கப்பட்டது
x-\frac{2}{3}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.
x-\frac{2}{3}y=2
சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.
x=\frac{2}{3}y+2
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{2y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=-2
பிற சமன்பாடு \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2-இல் x-க்கு \frac{2y}{3}+2-ஐப் பிரதியிடவும்.
\frac{1}{3}y+1+\frac{1}{3}y=-2
\frac{2y}{3}+2-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.
\frac{2}{3}y+1=-2
\frac{y}{3}-க்கு \frac{y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.
\frac{2}{3}y=-3
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 1-ஐக் கழிக்கவும்.
y=-\frac{9}{2}
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{2}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.
x=\frac{2}{3}\left(-\frac{9}{2}\right)+2
x=\frac{2}{3}y+2-இல் y-க்கு -\frac{9}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.
x=-3+2
தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{9}{2}-ஐ \frac{2}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.
x=-1
-3-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.
x=-1,y=-\frac{9}{2}
இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.
x-\frac{2}{3}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.
\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.
inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\-\frac{3}{4}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-2\\-\frac{3}{4}\times 2+\frac{3}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)
அணிகளைப் பெருக்கவும்.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)
எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.
x=-1,y=-\frac{9}{2}
அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.
x-\frac{2}{3}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
x மற்றும் \frac{x}{2}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{1}{2}-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.
\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
எளிமையாக்கவும்.
\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}y=1+2
சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1-இலிருந்து \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2-ஐக் கழிக்கவும்.
-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}y=1+2
-\frac{x}{2}-க்கு \frac{x}{2}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{x}{2} மற்றும் -\frac{x}{2} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.
-\frac{2}{3}y=1+2
-\frac{y}{3}-க்கு -\frac{y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.
-\frac{2}{3}y=3
2-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.
y=-\frac{9}{2}
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{2}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-\frac{9}{2}\right)=-2
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2-இல் y-க்கு -\frac{9}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.
\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=-2
தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{9}{2}-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.
\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{3}{2}-ஐக் கூட்டவும்.
x=-1
இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.
x=-1,y=-\frac{9}{2}
இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.
எடுத்துக்காட்டுகள்
இருபடி சமன்பாடு
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
திரிகோணமதி
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
ஒருபடி சமன்பாடு
y = 3x + 4
எண் கணிதம்
699 * 533
அணி
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
உடனிகழ்வு சமன்பாடு
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
வகைக்கெழு
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
தொகையீடு
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
வரம்புகள்
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}