{l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-3y=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{2}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-3y=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=3y+4$$

பிற சமன்பாடு -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}-இல் x-க்கு 3y+4-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

3y+4-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

y-க்கு -\frac{3y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=\frac{4}{3}$$

x=3y+4-இல் y-க்கு \frac{4}{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

\frac{4}{3}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$x=4+4$$

4-க்கு 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-3y=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{2}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-3y=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{2}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

x மற்றும் -\frac{x}{2}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -\frac{1}{2}-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2-இலிருந்து -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

\frac{x}{2}-க்கு -\frac{x}{2}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -\frac{x}{2} மற்றும் \frac{x}{2} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

-y-க்கு \frac{3y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

\frac{8}{3}-க்கு -2-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=\frac{4}{3}$$

-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}-இல் y-க்கு \frac{4}{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{4}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$