{l}{x=10y+8}{x=y-2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 10 y + 8 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{28}{9} = -3\frac{1}{9} \approx -3.111111111$$

$$y = -\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9} \approx -1.111111111$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-10y=8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-y=-2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-10y=8,x-y=-2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-10y=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=10y+8$$

பிற சமன்பாடு x-y=-2-இல் x-க்கு 10y+8-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$10y+8-y=-2$$

-y-க்கு 10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$9y+8=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9y=-10$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{10}{9}$$

x=10y+8-இல் y-க்கு -\frac{10}{9}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=10\left(-\frac{10}{9}\right)+8$$

-\frac{10}{9}-ஐ 10 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{100}{9}+8$$

-\frac{100}{9}-க்கு 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{28}{9}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{28}{9},y=-\frac{10}{9}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-10y=8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-y=-2$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-10y=8,x-y=-2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-10\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-10\\1&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-10\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-10\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-10\right)}&-\frac{-10}{-1-\left(-10\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-10\right)}&\frac{1}{-1-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{10}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 8+\frac{10}{9}\left(-2\right)\\-\frac{1}{9}\times 8+\frac{1}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{9}\\-\frac{10}{9}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{28}{9},y=-\frac{10}{9}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-10y=8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-y=-2$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-10y=8,x-y=-2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் x-10y=8-இலிருந்து x-y=-2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-x-10y+y=8+2$$

-x-க்கு x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் x மற்றும் -x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-10y+y=8+2$$

y-க்கு -10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-9y=8+2$$

2-க்கு 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$-9y=10$$

இரு பக்கங்களையும் -9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{10}{9}$$

x-y=-2-இல் y-க்கு -\frac{10}{9}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x-\left(-\frac{10}{9}\right)=-2$$

-\frac{10}{9}-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$x+\frac{10}{9}=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{10}{9}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-\frac{28}{9}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{28}{9},y=-\frac{10}{9}$$