{l}{x+y=20}{6x=4y}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 20 } \\ { 6 x = 4 y } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=8$$

$$y=12$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-4y=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=20,6x-4y=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+20$$

பிற சமன்பாடு 6x-4y=0-இல் x-க்கு -y+20-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(-y+20\right)-4y=0$$

-y+20-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$-6y+120-4y=0$$

-4y-க்கு -6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10y+120=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 120-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-10y=-120$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=12$$

x=-y+20-இல் y-க்கு 12-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-12+20$$

-12-க்கு 20-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=8,y=12$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-4y=0$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y=20,6x-4y=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-6}&-\frac{1}{-4-6}\\-\frac{6}{-4-6}&\frac{1}{-4-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 20\\\frac{3}{5}\times 20\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=8,y=12$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-4y=0$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+y=20,6x-4y=0$$

x மற்றும் 6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6x+6y=6\times 20,6x-4y=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6x+6y=120,6x-4y=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6x+6y=120-இலிருந்து 6x-4y=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-6x+6y+4y=120$$

-6x-க்கு 6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6x மற்றும் -6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$6y+4y=120$$

4y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$10y=120$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=12$$

6x-4y=0-இல் y-க்கு 12-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6x-4\times 12=0$$

12-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$6x-48=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 48-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=48$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=8,y=12$$