{l}{rx-ry=1}{rx-9y=r}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் ry-ஐக் கூட்டவும்.

$$rx=ry+1$$

இரு பக்கங்களையும் r-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

ry+1-ஐ \frac{1}{r} முறை பெருக்கவும்.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

பிற சமன்பாடு rx-9y=r-இல் x-க்கு y+\frac{1}{r}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

y+\frac{1}{r}-ஐ r முறை பெருக்கவும்.

$$ry+1-9y=r$$

-9y-க்கு ry-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

இரு பக்கங்களையும் r-9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

x=y+\frac{1}{r}-இல் y-க்கு \frac{r-1}{r-9}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

\frac{r-1}{r-9}-க்கு \frac{1}{r}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் rx+\left(-r\right)y=1-இலிருந்து rx-9y=r-ஐக் கழிக்கவும்.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

-rx-க்கு rx-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் rx மற்றும் -rx ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

9y-க்கு -ry-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

இரு பக்கங்களையும் -r+9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

rx-9y=r-இல் y-க்கு \frac{1-r}{-r+9}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

\frac{1-r}{-r+9}-ஐ -9 முறை பெருக்கவும்.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9}-ஐக் கூட்டவும்.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

இரு பக்கங்களையும் r-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$