{l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும் (சிக்கலான தீர்வு)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் by-ஐக் கூட்டவும்.

$$ax=by-8$$

இரு பக்கங்களையும் a-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

by-8-ஐ \frac{1}{a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

பிற சமன்பாடு bx+ay+1=0-இல் x-க்கு \frac{by-8}{a}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

\frac{by-8}{a}-ஐ b முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

ay-க்கு \frac{b^{2}y}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

1-க்கு -\frac{8b}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{a-8b}{a}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

இரு பக்கங்களையும் a+\frac{b^{2}}{a}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}-இல் y-க்கு \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-ஐ \frac{b}{a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-க்கு -\frac{8}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax மற்றும் bx-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் b-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் a-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0-இலிருந்து abx+a^{2}y+a=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-bax-க்கு bax-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் bax மற்றும் -bax ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-a^{2}y-க்கு -b^{2}y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8b-a-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

இரு பக்கங்களையும் -b^{2}-a^{2}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0-இல் y-க்கு -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}-ஐ a முறை பெருக்கவும்.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

1-க்கு -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}}-ஐக் கூட்டவும்.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

இரு பக்கங்களையும் b-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் by-ஐக் கூட்டவும்.

$$ax=by-8$$

இரு பக்கங்களையும் a-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

by-8-ஐ \frac{1}{a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

பிற சமன்பாடு bx+ay+1=0-இல் x-க்கு \frac{by-8}{a}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

\frac{by-8}{a}-ஐ b முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

ay-க்கு \frac{b^{2}y}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

1-க்கு -\frac{8b}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{a-8b}{a}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

இரு பக்கங்களையும் a+\frac{b^{2}}{a}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}-இல் y-க்கு \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-ஐ \frac{b}{a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-க்கு -\frac{8}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax மற்றும் bx-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் b-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் a-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0-இலிருந்து abx+a^{2}y+a=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-bax-க்கு bax-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் bax மற்றும் -bax ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-a^{2}y-க்கு -b^{2}y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8b-a-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

இரு பக்கங்களையும் -b^{2}-a^{2}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0-இல் y-க்கு -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}-ஐ a முறை பெருக்கவும்.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

1-க்கு -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}}-ஐக் கூட்டவும்.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

இரு பக்கங்களையும் b-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$