{l}{ax+by=e}{cx+dy=f}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = e } \\ { c x + d y = f } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$ax+by=e$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் by-ஐக் கழிக்கவும்.

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

இரு பக்கங்களையும் a-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

-by+e-ஐ \frac{1}{a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

பிற சமன்பாடு cx+dy=f-இல் x-க்கு \frac{-by+e}{a}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

\frac{-by+e}{a}-ஐ c முறை பெருக்கவும்.

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

dy-க்கு -\frac{cby}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{ce}{a}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

இரு பக்கங்களையும் d-\frac{cb}{a}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}-இல் y-க்கு \frac{fa-ce}{da-cb}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

\frac{fa-ce}{da-cb}-ஐ -\frac{b}{a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

-\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}-க்கு \frac{e}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

ax மற்றும் cx-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் c-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் a-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

எளிமையாக்கவும்.

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் acx+bcy=ec-இலிருந்து acx+ady=af-ஐக் கழிக்கவும்.

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

-cax-க்கு cax-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் cax மற்றும் -cax ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

-ady-க்கு cby-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

இரு பக்கங்களையும் cb-ad-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

cx+dy=f-இல் y-க்கு \frac{ce-af}{cb-ad}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

\frac{ce-af}{cb-ad}-ஐ d முறை பெருக்கவும்.

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

இரு பக்கங்களையும் c-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$