{l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$6x-18y=-85$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 18y-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=18y-85$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

18y-85-ஐ \frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

பிற சமன்பாடு 24x-5y=-5-இல் x-க்கு 3y-\frac{85}{6}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

3y-\frac{85}{6}-ஐ 24 முறை பெருக்கவும்.

$$72y-340-5y=-5$$

-5y-க்கு 72y-ஐக் கூட்டவும்.

$$67y-340=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 340-ஐக் கூட்டவும்.

$$67y=335$$

இரு பக்கங்களையும் 67-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

x=3y-\frac{85}{6}-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

5-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

15-க்கு -\frac{85}{6}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{5}{6}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

6x மற்றும் 24x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 24-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 144x-432y=-2040-இலிருந்து 144x-30y=-30-ஐக் கழிக்கவும்.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

-144x-க்கு 144x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 144x மற்றும் -144x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-432y+30y=-2040+30$$

30y-க்கு -432y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-402y=-2040+30$$

30-க்கு -2040-ஐக் கூட்டவும்.

$$-402y=-2010$$

இரு பக்கங்களையும் -402-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

24x-5y=-5-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$24x-5\times 5=-5$$

5-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$24x-25=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 25-ஐக் கூட்டவும்.

$$24x=20$$

இரு பக்கங்களையும் 24-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{5}{6}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$