{l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=10$$

$$y=20$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$48x+40y=1280$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 40y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$48x=-40y+1280$$

இரு பக்கங்களையும் 48-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

-40y+1280-ஐ \frac{1}{48} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

பிற சமன்பாடு 120x+80y=2800-இல் x-க்கு -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

-\frac{5y}{6}+\frac{80}{3}-ஐ 120 முறை பெருக்கவும்.

$$-100y+3200+80y=2800$$

80y-க்கு -100y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-20y+3200=2800$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3200-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-20y=-400$$

இரு பக்கங்களையும் -20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=20$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}-இல் y-க்கு 20-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

20-ஐ -\frac{5}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{50}{3} உடன் \frac{80}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=10$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=10,y=20$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=10,y=20$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

48x மற்றும் 120x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 120-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 48-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

எளிமையாக்கவும்.

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 5760x+4800y=153600-இலிருந்து 5760x+3840y=134400-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

-5760x-க்கு 5760x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 5760x மற்றும் -5760x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$4800y-3840y=153600-134400$$

-3840y-க்கு 4800y-ஐக் கூட்டவும்.

$$960y=153600-134400$$

-134400-க்கு 153600-ஐக் கூட்டவும்.

$$960y=19200$$

இரு பக்கங்களையும் 960-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=20$$

120x+80y=2800-இல் y-க்கு 20-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$120x+80\times 20=2800$$

20-ஐ 80 முறை பெருக்கவும்.

$$120x+1600=2800$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 1600-ஐக் கழிக்கவும்.

$$120x=1200$$

இரு பக்கங்களையும் 120-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=10$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=10,y=20$$