{l}{3x+5y=9}{2x-5y=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 9 } \\ { 2 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=2$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+5y=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-5y+9$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+9\right)$$

-5y+9-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{3}y+3$$

பிற சமன்பாடு 2x-5y=1-இல் x-க்கு -\frac{5y}{3}+3-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+3\right)-5y=1$$

-\frac{5y}{3}+3-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{10}{3}y+6-5y=1$$

-5y-க்கு -\frac{10y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{25}{3}y+6=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{25}{3}y=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{25}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{3}{5}$$

x=-\frac{5}{3}y+3-இல் y-க்கு \frac{3}{5}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{3}{5}+3$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{3}{5}-ஐ -\frac{5}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-1+3$$

-1-க்கு 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-5\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 9+\frac{1}{5}\\\frac{2}{25}\times 9-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

3x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 9,3\times 2x+3\left(-5\right)y=3$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6x+10y=18,6x-15y=3$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6x+10y=18-இலிருந்து 6x-15y=3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-6x+10y+15y=18-3$$

-6x-க்கு 6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6x மற்றும் -6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$10y+15y=18-3$$

15y-க்கு 10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$25y=18-3$$

-3-க்கு 18-ஐக் கூட்டவும்.

$$25y=15$$

இரு பக்கங்களையும் 25-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{3}{5}$$

2x-5y=1-இல் y-க்கு \frac{3}{5}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x-5\times \frac{3}{5}=1$$

\frac{3}{5}-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$2x-3=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=4$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$