{l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=4$$

$$y=-2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

3x மற்றும் -4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

3y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7y.

$$-x+7y=-18$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். \frac{1}{2}-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6}-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}x மற்றும் \frac{1}{6}x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}y மற்றும் -\frac{1}{6}y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-x+7y=-18$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-x=-7y-18$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

-7y-18-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$x=7y+18$$

பிற சமன்பாடு \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2-இல் x-க்கு 7y+18-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

7y+18-ஐ \frac{2}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{y}{3}-க்கு \frac{14y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$5y+12=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5y=-10$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2$$

x=7y+18-இல் y-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=7\left(-2\right)+18$$

-2-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-14+18$$

-14-க்கு 18-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=-2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

3x மற்றும் -4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

3y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7y.

$$-x+7y=-18$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். \frac{1}{2}-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6}-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}x மற்றும் \frac{1}{6}x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}y மற்றும் -\frac{1}{6}y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=4,y=-2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

-4-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

3x மற்றும் -4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x+3y+4y=-18$$

3y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7y.

$$-x+7y=-18$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். \frac{1}{2}-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

\frac{1}{6}-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}x மற்றும் \frac{1}{6}x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு \frac{2}{3}x.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

\frac{1}{2}y மற்றும் -\frac{1}{6}y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு \frac{1}{3}y.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

-x மற்றும் \frac{2x}{3}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் \frac{2}{3}-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12-இலிருந்து -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{2x}{3}-க்கு -\frac{2x}{3}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -\frac{2x}{3} மற்றும் \frac{2x}{3} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

\frac{y}{3}-க்கு \frac{14y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$5y=-12+2$$

2-க்கு -12-ஐக் கூட்டவும்.

$$5y=-10$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2$$

\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2-இல் y-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

-2-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{2}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{2}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=-2$$