{l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-2$$

$$y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

2x+1-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

y-3-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$6x+3-5y+15=1$$

15-க்கு 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x-5y+18=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-5y=-17$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=5y-17$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

5y-17-ஐ \frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

பிற சமன்பாடு 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3-இல் x-க்கு \frac{5y-17}{6}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

\frac{5y-17}{6}-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

1-க்கு \frac{17}{6}-ஐக் கூட்டவும்.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

\frac{-5y+23}{6}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

2y+1-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

-8y-க்கு -\frac{25y}{6}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

-4-க்கு \frac{115}{6}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{91}{6}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{73}{6}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=1$$

x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{5-17}{6}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{5}{6} உடன் -\frac{17}{6}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-2,y=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

முதல் சமன்பாட்டைத் தரநிலையான வடிவத்தில் இடுவதற்கு அதை எளிமையாக்கவும்.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

2x+1-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

y-3-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$6x+3-5y+15=1$$

15-க்கு 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x-5y+18=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-5y=-17$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைத் தரநிலையான வடிவத்தில் இடுவதற்கு அதை எளிமையாக்கவும்.

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

-x+1-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

2y+1-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$-5x+5-8y-4=3$$

-4-க்கு 5-ஐக் கூட்டவும்.

$$-5x-8y+1=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5x-8y=2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-2,y=1$$