{l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$200x+300y=360$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 300y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$200x=-300y+360$$

இரு பக்கங்களையும் 200-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

-300y+360-ஐ \frac{1}{200} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

பிற சமன்பாடு 300x+200y=340-இல் x-க்கு -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

-\frac{3y}{2}+\frac{9}{5}-ஐ 300 முறை பெருக்கவும்.

$$-450y+540+200y=340$$

200y-க்கு -450y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-250y+540=340$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 540-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-250y=-200$$

இரு பக்கங்களையும் -250-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}-இல் y-க்கு \frac{4}{5}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{4}{5}-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{6}{5} உடன் \frac{9}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{3}{5}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

200x மற்றும் 300x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 300-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 200-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

எளிமையாக்கவும்.

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 60000x+90000y=108000-இலிருந்து 60000x+40000y=68000-ஐக் கழிக்கவும்.

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

-60000x-க்கு 60000x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 60000x மற்றும் -60000x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$90000y-40000y=108000-68000$$

-40000y-க்கு 90000y-ஐக் கூட்டவும்.

$$50000y=108000-68000$$

-68000-க்கு 108000-ஐக் கூட்டவும்.

$$50000y=40000$$

இரு பக்கங்களையும் 50000-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{4}{5}$$

300x+200y=340-இல் y-க்கு \frac{4}{5}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

\frac{4}{5}-ஐ 200 முறை பெருக்கவும்.

$$300x+160=340$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 160-ஐக் கழிக்கவும்.

$$300x=180$$

இரு பக்கங்களையும் 300-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{3}{5}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$