{l}{2(x+y)-(x-y)=3}{(x+y)-2(x-y)=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 3 } \\ { ( x + y ) - 2 ( x - y ) = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$2x+2y-x+y=3$$

2x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x+2y+y=3$$

2y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$x+3y=3$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -2-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y-2x+2y=1$$

x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x+y+2y=1$$

y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$-x+3y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+3y=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-3y+3$$

பிற சமன்பாடு -x+3y=1-இல் x-க்கு -3y+3-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\left(-3y+3\right)+3y=1$$

-3y+3-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$3y-3+3y=1$$

3y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$6y-3=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$6y=4$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=-3y+3-இல் y-க்கு \frac{2}{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-3\times \frac{2}{3}+3$$

\frac{2}{3}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-2+3$$

-2-க்கு 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$2x+2y-x+y=3$$

2x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x+2y+y=3$$

2y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$x+3y=3$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -2-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y-2x+2y=1$$

x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x+y+2y=1$$

y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$-x+3y=1$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{1}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$2x+2y-x+y=3$$

2x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x+2y+y=3$$

2y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$x+3y=3$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -2-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y-2x+2y=1$$

x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x+y+2y=1$$

y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$-x+3y=1$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் x+3y=3-இலிருந்து -x+3y=1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x+x+3y-3y=3-1$$

-3y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3y மற்றும் -3y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$x+x=3-1$$

x-க்கு x-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=3-1$$

-1-க்கு 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=2$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

-x+3y=1-இல் x-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-1+3y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=2$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{2}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$