{l}{-3x+y=-1}{5x-2y=11}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + y = - 1 } \\ { 5 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-9$$

$$y=-28$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-3x+y=-1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x=-y-1$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y-1\right)$$

-y-1-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

பிற சமன்பாடு 5x-2y=11-இல் x-க்கு \frac{1+y}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-2y=11$$

\frac{1+y}{3}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}-2y=11$$

-2y-க்கு \frac{5y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{5}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{28}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=-28$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}-இல் y-க்கு -28-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-28\right)+\frac{1}{3}$$

-28-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-28+1}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{28}{3} உடன் \frac{1}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-9$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-9,y=-28$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{-3\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{3}{-3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-1\right)-11\\-5\left(-1\right)-3\times 11\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-28\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-9,y=-28$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

-3x மற்றும் 5x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5\left(-3\right)x+5y=5\left(-1\right),-3\times 5x-3\left(-2\right)y=-3\times 11$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-15x+5y=-5,-15x+6y=-33$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -15x+5y=-5-இலிருந்து -15x+6y=-33-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-15x+15x+5y-6y=-5+33$$

15x-க்கு -15x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -15x மற்றும் 15x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$5y-6y=-5+33$$

-6y-க்கு 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=-5+33$$

33-க்கு -5-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=28$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-28$$

5x-2y=11-இல் y-க்கு -28-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5x-2\left(-28\right)=11$$

-28-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$5x+56=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 56-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=-45$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-9$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-9,y=-28$$