{l}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=0$$

$$y=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -3-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

2-ஐ y+x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-9x+3y=2y+2x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9x+3y-2y=2x$$

3y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு y.

$$-9x+y=2x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9x+y-2x=0$$

-9x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -11x.

$$-11x+y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -3-ஐ 2x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

2-ஐ x-3y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-6x-3y=2x-6y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-6x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-8x-3y+6y=0$$

-3y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$-8x+3y=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-11x+y=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-11x=-y$$

இரு பக்கங்களையும் -11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

-y-ஐ -\frac{1}{11} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{11}y$$

பிற சமன்பாடு -8x+3y=0-இல் x-க்கு \frac{y}{11}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

\frac{y}{11}-ஐ -8 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

3y-க்கு -\frac{8y}{11}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{25}{11}y=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{25}{11}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=0$$

x=\frac{1}{11}y-இல் y-க்கு 0-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=0$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -3-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

2-ஐ y+x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-9x+3y=2y+2x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9x+3y-2y=2x$$

3y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு y.

$$-9x+y=2x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9x+y-2x=0$$

-9x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -11x.

$$-11x+y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -3-ஐ 2x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

2-ஐ x-3y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-6x-3y=2x-6y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-6x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-8x-3y+6y=0$$

-3y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$-8x+3y=0$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=0,y=0$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -3-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

2-ஐ y+x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-9x+3y=2y+2x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9x+3y-2y=2x$$

3y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு y.

$$-9x+y=2x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9x+y-2x=0$$

-9x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -11x.

$$-11x+y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -3-ஐ 2x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

2-ஐ x-3y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-6x-3y=2x-6y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-6x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-8x-3y+6y=0$$

-3y மற்றும் 6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$-8x+3y=0$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

-11x மற்றும் -8x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -8-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -11-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 88x-8y=0-இலிருந்து 88x-33y=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

-88x-க்கு 88x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 88x மற்றும் -88x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-8y+33y=0$$

33y-க்கு -8y-ஐக் கூட்டவும்.

$$25y=0$$

இரு பக்கங்களையும் 25-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=0$$

-8x+3y=0-இல் y-க்கு 0-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-8x=0$$

இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=0$$