{l}{-2x+4y=12}{4x-6y=9}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = 12 } \\ { 4 x - 6 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=27$$

$$y = \frac{33}{2} = 16\frac{1}{2} = 16.5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-2x+4y=12,4x-6y=9$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-2x+4y=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2x=-4y+12$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

-4y+12-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=2y-6$$

பிற சமன்பாடு 4x-6y=9-இல் x-க்கு -6+2y-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(2y-6\right)-6y=9$$

-6+2y-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$8y-24-6y=9$$

-6y-க்கு 8y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y-24=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 24-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=33$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{33}{2}$$

x=2y-6-இல் y-க்கு \frac{33}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=2\times \frac{33}{2}-6$$

\frac{33}{2}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=33-6$$

33-க்கு -6-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=27$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=27,y=\frac{33}{2}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-2x+4y=12,4x-6y=9$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-2\left(-6\right)-4\times 4}&-\frac{4}{-2\left(-6\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{-2\left(-6\right)-4\times 4}&-\frac{2}{-2\left(-6\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 12+9\\12+\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\\frac{33}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=27,y=\frac{33}{2}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-2x+4y=12,4x-6y=9$$

-2x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\left(-2\right)x+4\times 4y=4\times 12,-2\times 4x-2\left(-6\right)y=-2\times 9$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-8x+16y=48,-8x+12y=-18$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -8x+16y=48-இலிருந்து -8x+12y=-18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-8x+8x+16y-12y=48+18$$

8x-க்கு -8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -8x மற்றும் 8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$16y-12y=48+18$$

-12y-க்கு 16y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y=48+18$$

18-க்கு 48-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y=66$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{33}{2}$$

4x-6y=9-இல் y-க்கு \frac{33}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x-6\times \frac{33}{2}=9$$

\frac{33}{2}-ஐ -6 முறை பெருக்கவும்.

$$4x-99=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 99-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=108$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=27$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=27,y=\frac{33}{2}$$