{l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=-2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

2-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-2y மற்றும் -5y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-7y-10x=-10$$

2x மற்றும் -10x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -8x.

$$-8x-7y=-10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

3-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+3y+6=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+3y=6-6$$

6-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 0.

$$2x+3y=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-8x-7y=-10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 7y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-8x=7y-10$$

இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

7y-10-ஐ -\frac{1}{8} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

பிற சமன்பாடு 2x+3y=0-இல் x-க்கு -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

-\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

3y-க்கு -\frac{7y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{5}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{5}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-2$$

x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}-இல் y-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

-2-ஐ -\frac{7}{8} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{7}{4} உடன் \frac{5}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=-2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

2-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-2y மற்றும் -5y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-7y-10x=-10$$

2x மற்றும் -10x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -8x.

$$-8x-7y=-10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

3-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+3y+6=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+3y=6-6$$

6-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 0.

$$2x+3y=0$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=-2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

2-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-2y மற்றும் -5y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-7y-10x=-10$$

2x மற்றும் -10x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -8x.

$$-8x-7y=-10$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

3-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+3y+6=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+3y=6-6$$

6-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 0.

$$2x+3y=0$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

-8x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -8-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -16x-14y=-20-இலிருந்து -16x-24y=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

16x-க்கு -16x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -16x மற்றும் 16x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-14y+24y=-20$$

24y-க்கு -14y-ஐக் கூட்டவும்.

$$10y=-20$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2$$

2x+3y=0-இல் y-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

-2-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$2x-6=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 6-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=6$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=-2$$