{l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4,2,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

பெருக்கல் செயல்பாடுகளைச் செய்யவும்.

$$4x+3y=12-12$$

12-இலிருந்து 12-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 0.

$$4x+3y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2,4,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4-ஐ 2x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10-ஐ y-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4y மற்றும் -10y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5-ஐ x+y-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2-ஐ y-x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

5y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

5x மற்றும் 2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-15 மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

8x மற்றும் -7x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x-6y+20=3y-13$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-6y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9y.

$$x-9y+20=-13$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 20-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-9y=-13-20$$

-13-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -33.

$$x-9y=-33$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+3y=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-3y$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

-3y-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

பிற சமன்பாடு x-9y=-33-இல் x-க்கு -\frac{3y}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

-9y-க்கு -\frac{3y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{39}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{44}{13}$$

x=-\frac{3}{4}y-இல் y-க்கு \frac{44}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{44}{13}-ஐ -\frac{3}{4} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{33}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4,2,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

பெருக்கல் செயல்பாடுகளைச் செய்யவும்.

$$4x+3y=12-12$$

12-இலிருந்து 12-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 0.

$$4x+3y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2,4,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4-ஐ 2x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10-ஐ y-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4y மற்றும் -10y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5-ஐ x+y-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2-ஐ y-x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

5y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

5x மற்றும் 2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-15 மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

8x மற்றும் -7x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x-6y+20=3y-13$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-6y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9y.

$$x-9y+20=-13$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 20-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-9y=-13-20$$

-13-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -33.

$$x-9y=-33$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4,2,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

பெருக்கல் செயல்பாடுகளைச் செய்யவும்.

$$4x+3y=12-12$$

12-இலிருந்து 12-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 0.

$$4x+3y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2,4,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4-ஐ 2x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10-ஐ y-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4y மற்றும் -10y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5-ஐ x+y-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2-ஐ y-x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

5y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

5x மற்றும் 2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-15 மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

8x மற்றும் -7x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x-6y+20=3y-13$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-6y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9y.

$$x-9y+20=-13$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 20-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-9y=-13-20$$

-13-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -33.

$$x-9y=-33$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

4x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 4x+3y=0-இலிருந்து 4x-36y=-132-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

-4x-க்கு 4x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 4x மற்றும் -4x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$3y+36y=132$$

36y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$39y=132$$

இரு பக்கங்களையும் 39-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{44}{13}$$

x-9y=-33-இல் y-க்கு \frac{44}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

\frac{44}{13}-ஐ -9 முறை பெருக்கவும்.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{396}{13}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{33}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$