{l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

பிரதியீடு மற்றும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். k-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y=kx+k$$

பிற சமன்பாடு 3x^{2}+4y^{2}=12-இல் y-க்கு kx+k-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

kx+k-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

4k^{2}x^{2}-க்கு 3x^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 3+4k^{2}, b-க்குப் பதிலாக 4\times 2kk மற்றும் c-க்குப் பதிலாக 4k^{2}-12-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4\times 2kk-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

3+4k^{2}-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4k^{2}-12-ஐ -12-16k^{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144+144k^{2}-64k^{4}-க்கு 64k^{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

3+4k^{2}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}-ஐத் தீர்க்கவும். 12\sqrt{k^{2}+1}-க்கு -8k^{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}-ஐ 6+8k^{2}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}-ஐத் தீர்க்கவும். -8k^{2}–இலிருந்து 12\sqrt{k^{2}+1}–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}-ஐ 6+8k^{2}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x-க்கு இரு தீர்வுகள் உள்ளன: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} மற்றும் -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}. இரு சமன்பாடுகளுக்கும் இணங்க அமைகின்ற y-க்குரிய தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, y=kx+k சமன்பாட்டில் x-க்காக \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}}-ஐ k முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

இரு சமன்பாடுகளுக்கும் இணங்க அமைகின்ற y-க்குரிய தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க, இப்போது y=kx+k சமன்பாட்டில் x-க்காக -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}-ஐப் பிரதியிட்டு, தீர்க்கவும்.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}-ஐ k முறை பெருக்கவும்.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும் (சிக்கலான தீர்வு)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$