{l}{x+y+1/5=1/3(y+1)}{y-5/4-1=x-y}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 1 } { 5 } = \frac { 1 } { 3 } ( y + 1 ) } \\ { \frac { y - 5 } { 4 } - 1 = x - y } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=4$$

$$y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+y+1\right)=5\left(y+1\right)$$

3-ஐ x+y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+3=5\left(y+1\right)$$

5-ஐ y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+3=5y+5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3y+3-5y=5$$

3y மற்றும் -5y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.

$$3x-2y+3=5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-2y=5-3$$

5-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 2.

$$3x-2y=2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y-5-4=4x-4y$$

-5-இலிருந்து 4-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -9.

$$y-9=4x-4y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-9-4x=-4y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$y-9-4x+4y=0$$

y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.

$$5y-9-4x=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 9-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$5y-4x=9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x-2y=2,-4x+5y=9$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x-2y=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=2y+2$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+2\right)$$

2+2y-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}$$

பிற சமன்பாடு -4x+5y=9-இல் x-க்கு \frac{2+2y}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-4\left(\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}\right)+5y=9$$

\frac{2+2y}{3}-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{8}{3}y-\frac{8}{3}+5y=9$$

5y-க்கு -\frac{8y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7}{3}y-\frac{8}{3}=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{8}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7}{3}y=\frac{35}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{7}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=5$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{2}{3}\times 5+\frac{2}{3}$$

5-ஐ \frac{2}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{10+2}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{10}{3} உடன் \frac{2}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+y+1\right)=5\left(y+1\right)$$

3-ஐ x+y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+3=5\left(y+1\right)$$

5-ஐ y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+3=5y+5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3y+3-5y=5$$

3y மற்றும் -5y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.

$$3x-2y+3=5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-2y=5-3$$

5-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 2.

$$3x-2y=2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y-5-4=4x-4y$$

-5-இலிருந்து 4-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -9.

$$y-9=4x-4y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-9-4x=-4y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$y-9-4x+4y=0$$

y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.

$$5y-9-4x=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 9-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$5y-4x=9$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-2y=2,-4x+5y=9$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 5-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 5-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 9\\\frac{4}{7}\times 2+\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=4,y=5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+y+1\right)=5\left(y+1\right)$$

3-ஐ x+y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+3=5\left(y+1\right)$$

5-ஐ y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+3=5y+5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3y+3-5y=5$$

3y மற்றும் -5y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.

$$3x-2y+3=5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-2y=5-3$$

5-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 2.

$$3x-2y=2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y-5-4=4x-4y$$

-5-இலிருந்து 4-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -9.

$$y-9=4x-4y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-9-4x=-4y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$y-9-4x+4y=0$$

y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.

$$5y-9-4x=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 9-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$5y-4x=9$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x-2y=2,-4x+5y=9$$

3x மற்றும் -4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-4\times 3x-4\left(-2\right)y=-4\times 2,3\left(-4\right)x+3\times 5y=3\times 9$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-12x+8y=-8,-12x+15y=27$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -12x+8y=-8-இலிருந்து -12x+15y=27-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-12x+12x+8y-15y=-8-27$$

12x-க்கு -12x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -12x மற்றும் 12x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$8y-15y=-8-27$$

-15y-க்கு 8y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y=-8-27$$

-27-க்கு -8-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y=-35$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

-4x+5y=9-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-4x+5\times 5=9$$

5-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-4x+25=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 25-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x=-16$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=5$$