{c}{3y-9=4x-4y+5}{5y-3=-(x+2)+1+2y}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { c } { 3 y - 9 = 4 x - 4 y + 5 } \\ { 5 y - 3 = - ( x + 2 ) + 1 + 2 y } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{28}{19} = -1\frac{9}{19} \approx -1.473684211$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3y-9-4x+4y=5$$

3y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7y.

$$7y-9-4x=5$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 9-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7y-4x=5+9$$

5 மற்றும் 9-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 14.

$$7y-4x=14$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். x+2-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-2 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -1.

$$5y-3=-x-1+2y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$5y-3+x=-1+2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5y-3+x-2y=-1$$

5y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$3y-3+x=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3y+x=-1+3$$

-1 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 2.

$$3y+x=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$7y-4x=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4x-ஐக் கூட்டவும்.

$$7y=4x+14$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{7}\left(4x+14\right)$$

4x+14-ஐ \frac{1}{7} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{4}{7}x+2$$

பிற சமன்பாடு 3y+x=2-இல் y-க்கு \frac{4x}{7}+2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(\frac{4}{7}x+2\right)+x=2$$

\frac{4x}{7}+2-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{12}{7}x+6+x=2$$

x-க்கு \frac{12x}{7}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{19}{7}x+6=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{19}{7}x=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{19}{7}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=-\frac{28}{19}$$

y=\frac{4}{7}x+2-இல் x-க்கு -\frac{28}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{4}{7}\left(-\frac{28}{19}\right)+2$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{28}{19}-ஐ \frac{4}{7} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=-\frac{16}{19}+2$$

-\frac{16}{19}-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{22}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3y-9-4x+4y=5$$

3y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7y.

$$7y-9-4x=5$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 9-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7y-4x=5+9$$

5 மற்றும் 9-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 14.

$$7y-4x=14$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். x+2-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-2 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -1.

$$5y-3=-x-1+2y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$5y-3+x=-1+2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5y-3+x-2y=-1$$

5y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$3y-3+x=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3y+x=-1+3$$

-1 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 2.

$$3y+x=2$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-4\times 3\right)}&\frac{7}{7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{4}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{7}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 14+\frac{4}{19}\times 2\\-\frac{3}{19}\times 14+\frac{7}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{28}{19}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3y-9-4x+4y=5$$

3y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7y.

$$7y-9-4x=5$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 9-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7y-4x=5+9$$

5 மற்றும் 9-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 14.

$$7y-4x=14$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். x+2-இன் எதிர்ச்சொல்லைக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு வார்த்தையின் எதிர்ச்சொல்லையும் கண்டறியவும்.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-2 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -1.

$$5y-3=-x-1+2y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$5y-3+x=-1+2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5y-3+x-2y=-1$$

5y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.

$$3y-3+x=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3y+x=-1+3$$

-1 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 2.

$$3y+x=2$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

7y மற்றும் 3y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 7y+3\left(-4\right)x=3\times 14,7\times 3y+7x=7\times 2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$21y-12x=42,21y+7x=14$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 21y-12x=42-இலிருந்து 21y+7x=14-ஐக் கழிக்கவும்.

$$21y-21y-12x-7x=42-14$$

-21y-க்கு 21y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 21y மற்றும் -21y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-12x-7x=42-14$$

-7x-க்கு -12x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-19x=42-14$$

-14-க்கு 42-ஐக் கூட்டவும்.

$$-19x=28$$

இரு பக்கங்களையும் -19-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{28}{19}$$

3y+x=2-இல் x-க்கு -\frac{28}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3y-\frac{28}{19}=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{28}{19}-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=\frac{66}{19}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{22}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$