{c}{3-2y/4-1/4=1-2x/6}{25/8-1=frac{x+3}{2}-frac{3(1+y)}{8}}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 3 - 2 y } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 - 2 x } { 6 } } \\ { \frac { 25 } { 8 } - 1 = \frac { x + 3 } { 2 } - \frac { 3 ( 1 + y ) } { 8 } } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=5$$

$$y=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

3-ஐ 3-2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

9-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 6.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

2-ஐ 1-2x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6-6y=2-4x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6-6y+4x=2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6y+4x=2-6$$

2-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -4.

$$-6y+4x=-4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 8,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 8-ஆல் பெருக்கவும்.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

25-இலிருந்து 8-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 17.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

4-ஐ x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

-3-ஐ 1+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$17=4x+12-3-3y$$

12-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 9.

$$17=4x+9-3y$$

எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$4x+9-3y=17$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x-3y=17-9$$

17-இலிருந்து 9-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 8.

$$4x-3y=8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-6y+4x=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6y=-4x-4$$

இரு பக்கங்களையும் -6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-4x-4\right)$$

-4x-4-ஐ -\frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$$

பிற சமன்பாடு -3y+4x=8-இல் y-க்கு \frac{2+2x}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\right)+4x=8$$

\frac{2+2x}{3}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$-2x-2+4x=8$$

4x-க்கு -2x-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x-2=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=10$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=5$$

y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}-இல் x-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{2}{3}\times 5+\frac{2}{3}$$

5-ஐ \frac{2}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{10+2}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{10}{3} உடன் \frac{2}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=4,x=5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

3-ஐ 3-2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

9-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 6.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

2-ஐ 1-2x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6-6y=2-4x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6-6y+4x=2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6y+4x=2-6$$

2-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -4.

$$-6y+4x=-4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 8,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 8-ஆல் பெருக்கவும்.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

25-இலிருந்து 8-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 17.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

4-ஐ x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

-3-ஐ 1+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$17=4x+12-3-3y$$

12-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 9.

$$17=4x+9-3y$$

எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$4x+9-3y=17$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x-3y=17-9$$

17-இலிருந்து 9-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 8.

$$4x-3y=8$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=4,x=5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

3-ஐ 3-2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

9-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 6.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

2-ஐ 1-2x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6-6y=2-4x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6-6y+4x=2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6y+4x=2-6$$

2-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -4.

$$-6y+4x=-4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 8,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 8-ஆல் பெருக்கவும்.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

25-இலிருந்து 8-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 17.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

4-ஐ x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

-3-ஐ 1+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$17=4x+12-3-3y$$

12-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 9.

$$17=4x+9-3y$$

எல்லா மாறி உறுப்புகளும் இடது கை பக்கத்தில் இருக்குமாறு பக்கங்களை மாற்றவும்.

$$4x+9-3y=17$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x-3y=17-9$$

17-இலிருந்து 9-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 8.

$$4x-3y=8$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -6y+4x=-4-இலிருந்து -3y+4x=8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6y+3y+4x-4x=-4-8$$

-4x-க்கு 4x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 4x மற்றும் -4x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-6y+3y=-4-8$$

3y-க்கு -6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3y=-4-8$$

-8-க்கு -4-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3y=-12$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=4$$

-3y+4x=8-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3\times 4+4x=8$$

4-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$-12+4x=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=20$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=4,x=5$$