Lös y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Lös ut y

$$y=2$$

$$y=15$$

Steg med faktorisering

För att lösa ekvationen, faktor y^{2}-17y+30 med hjälp av formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-17 ab=30$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Lösningen är det par som ger Summa -17.

$$a=-15 b=-2$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(y+a\right)\left(y+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Lös y-15=0 och y-2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$y=15 y=2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som y^{2}+ay+by+30. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Lösningen är det par som ger Summa -17.

$$a=-15 b=-2$$

Skriv om y^{2}-17y+30 som \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Utfaktor y i den första och den -2 i den andra gruppen.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen y-15 genom att använda distributivitet.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Lös y-15=0 och y-2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$y=15 y=2$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -17 och c med 30 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Kvadrera -17.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Multiplicera -4 med 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Addera 289 till -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

Motsatsen till -17 är 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{17±13}{2} när ± är plus. Addera 17 till 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Dela 30 med 2.

$$y=15$$

Lös nu ekvationen y=\frac{17±13}{2} när ± är minus. Subtrahera 13 från 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Dela 4 med 2.

$$y=2$$

Ekvationen har lösts.

$$y=15 y=2$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Subtrahera 30 från båda ekvationsled.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Subtraktion av 30 från sig självt ger 0 som resultat.

$$y^{2}-17y=-30$$

Dividera -17, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{17}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{17}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{17}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Addera -30 till \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktorisera y^{2}-17y+\frac{289}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Förenkla.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Addera \frac{17}{2} till båda ekvationsled.

$$y=15 y=2$$