Lös x^2-5x-1=0

$$x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{29} + 5}{2} \approx 5,192582404$$

$$x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}\approx -0,192582404$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-5x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -5 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4}}{2}$$

Addera 25 till 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{29}}{2}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{29}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{29}}{2} när ± är plus. Addera 5 till \sqrt{29}.

$$x=\frac{\sqrt{29}+5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{29}}{2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{29} från 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{29}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-5x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$x^{2}-5x=1$$

Dividera -5, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=1+\frac{25}{4}$$

Addera 1 till \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{29}{4}$$

Faktorisera x^{2}-5x+\frac{25}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Addera \frac{5}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{29}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{29}}{2}$$