Lös x^2-2x+3=0

$$x ^ { 2 } - 2 x + 3 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1,414213562i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -2 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3}}{2}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12}}{2}$$

Addera 4 till -12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Dra kvadratroten ur -8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{2}i}{2} när ± är plus. Addera 2 till 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{2}i}{2}$$

Dela 2+2i\sqrt{2} med 2.

$$x=1+\sqrt{2}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{2}i}{2} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{2} från 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+2}{2}$$

Dela 2-2i\sqrt{2} med 2.

$$x=-\sqrt{2}i+1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-2x+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-2x=-3$$

Dividera -2, koefficienten för termen x, med 2 för att få -1. Addera sedan kvadraten av -1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=-3+1$$

Addera -3 till 1.

$$x^{2}-2x+1=-2$$

Faktorisera x^{2}-2x+1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-1\right)^{2}=-2$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Förenkla.

$$x-1=\sqrt{2}i x-1=-\sqrt{2}i$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$x=1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+1$$