Lös x^2+4x-11<-36x-x^2

$$x ^ { 2 } + 4 x - 11 < - 36 x - x ^ { 2 }$$

Lös ut x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lägg till 36x på båda sidorna.

$$x^{2}+4x-11+36x<-x^{2}$$

Slå ihop 4x och 36x för att få 40x.

$$x^{2}+40x-11<-x^{2}$$

Lägg till x^{2} på båda sidorna.

$$x^{2}+40x-11+x^{2}<0$$

Slå ihop x^{2} och x^{2} för att få 2x^{2}.

$$2x^{2}+40x-11<0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+40x-11=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 2 med a, 40 med b och -11 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{-40±2\sqrt{422}}{4}$$

Lös ekvationen x=\frac{-40±2\sqrt{422}}{4} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{422}}{2}-10 x=-\frac{\sqrt{422}}{2}-10$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)\right)<0$$

För att produkten ska vara negativ, x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) och x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) måste vara av motsatta tecken. Överväg om x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) är positivt och x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) är negativt.

$$x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)<0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Överväg om x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) är positivt och x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) är negativt.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$