Lös t^2-6t+1geq0

$$t ^ { 2 } - 6 t + 1 \geq 0$$

Lös ut t

$$t\in (-\infty,3-2\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2}+3,\infty)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$t^{2}-6t+1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -6 med b och 1 med c i lösningsformeln.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}$$

Lös ekvationen t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$t=2\sqrt{2}+3 t=3-2\sqrt{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\right)\left(t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\right)\geq 0$$

För att produkten ska kunna ≥0 måste t-\left(2\sqrt{2}+3\right) och t-\left(3-2\sqrt{2}\right) ha både ≤0 eller båda ≥0. Behandla ärendet när t-\left(2\sqrt{2}+3\right) och t-\left(3-2\sqrt{2}\right) är ≤0.

$$t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\leq 0 t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är t\leq 3-2\sqrt{2}.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}$$

Tänk på när t-\left(2\sqrt{2}+3\right) och t-\left(3-2\sqrt{2}\right) är ≥0.

$$t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\geq 0 t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\geq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är t\geq 2\sqrt{2}+3.

$$t\geq 2\sqrt{2}+3$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}\text{; }t\geq 2\sqrt{2}+3$$