Lös n^2-4019n+2009^2=0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } = 0$$

Lös ut n

$$n = \frac{3 \sqrt{893} + 4019}{2} \approx 2054,324658392$$

$$n = \frac{4019 - 3 \sqrt{893}}{2} \approx 1964,675341608$$

Steg med lösningsformeln

Beräkna 2009 upphöjt till 2 och få 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -4019 och c med 4036081 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 4036081}}{2}$$

Kvadrera -4019.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-4\times 4036081}}{2}$$

Multiplicera -4 med 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-16144324}}{2}$$

Addera 16152361 till -16144324.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{8037}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 8037.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±3\sqrt{893}}{2}$$

Motsatsen till -4019 är 4019.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} när ± är plus. Addera 4019 till 3\sqrt{893}.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{893} från 4019.

$$n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Beräkna 2009 upphöjt till 2 och få 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Subtrahera 4036081 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$n^{2}-4019n=-4036081$$

Dividera -4019, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{4019}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{4019}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-4019n+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}=-4036081+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{4019}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=-4036081+\frac{16152361}{4}$$

Addera -4036081 till \frac{16152361}{4}.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=\frac{8037}{4}$$

Faktorisera n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}=\frac{8037}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8037}{4}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{4019}{2}=\frac{3\sqrt{893}}{2} n-\frac{4019}{2}=-\frac{3\sqrt{893}}{2}$$

Addera \frac{4019}{2} till båda ekvationsled.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$