Lös 9x^2-x-890=0

$$9 x ^ { 2 } - x - 890 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{89}{9} = -9\frac{8}{9} \approx -9,888888889$$

$$x=10$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 9x^{2}+ax+bx-890. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-1 ab=9\left(-890\right)=-8010$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -8010.

$$1,-8010 2,-4005 3,-2670 5,-1602 6,-1335 9,-890 10,-801 15,-534 18,-445 30,-267 45,-178 89,-90$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-8010=-8009 2-4005=-4003 3-2670=-2667 5-1602=-1597 6-1335=-1329 9-890=-881 10-801=-791 15-534=-519 18-445=-427 30-267=-237 45-178=-133 89-90=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -1.

$$a=-90 b=89$$

Skriv om 9x^{2}-x-890 som \left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right).

$$\left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right)$$

Utfaktor 9x i den första och den 89 i den andra gruppen.

$$9x\left(x-10\right)+89\left(x-10\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-10 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-10\right)\left(9x+89\right)$$

Lös x-10=0 och 9x+89=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -1 och c med -890 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 9\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-36\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med -890.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+32040}}{2\times 9}$$

Addera 1 till 32040.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{32041}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 32041.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±179}{2\times 9}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±179}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{1±179}{18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±179}{18} när ± är plus. Addera 1 till 179.

$$x=\frac{180}{18}$$

Dela 180 med 18.

$$x=10$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±179}{18} när ± är minus. Subtrahera 179 från 1.

$$x=-\frac{178}{18}$$

Minska bråktalet \frac{-178}{18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{89}{9}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Addera 890 till båda ekvationsled.

$$9x^{2}-x-890-\left(-890\right)=-\left(-890\right)$$

Subtraktion av -890 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}-x=-\left(-890\right)$$

Subtrahera -890 från 0.

$$9x^{2}-x=890$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}-x}{9}=\frac{890}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x=\frac{890}{9}$$

Dividera -\frac{1}{9}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{18}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{18} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{890}{9}+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{18} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{890}{9}+\frac{1}{324}$$

Addera \frac{890}{9} till \frac{1}{324} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{32041}{324}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{32041}{324}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{32041}{324}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{18}=\frac{179}{18} x-\frac{1}{18}=-\frac{179}{18}$$

Addera \frac{1}{18} till båda ekvationsled.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$