Lös 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Lös ut x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 25 från båda led.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Subtrahera 25 från 9 för att få -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 9x^{2}+ax+bx-16. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Lösningen är det par som ger Summa 7.

$$a=-9 b=16$$

Skriv om 9x^{2}+7x-16 som \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Utfaktor 9x i den första och den 16 i den andra gruppen.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Lös x-1=0 och 9x+16=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Subtrahera 25 från båda ekvationsled.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Subtraktion av 25 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Subtrahera 25 från 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med 7 och c med -16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrera 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Addera 49 till 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±25}{18} när ± är plus. Addera -7 till 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Dela 18 med 18.

$$x=1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-7±25}{18} när ± är minus. Subtrahera 25 från -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Minska bråktalet \frac{-32}{18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Subtrahera 9 från 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Dividera \frac{7}{9}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{7}{18}. Addera sedan kvadraten av \frac{7}{18} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{7}{18} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Addera \frac{16}{9} till \frac{49}{324} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Subtrahera \frac{7}{18} från båda ekvationsled.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$