Lös 9n^2-33n-1456=0

$$9 n ^ { 2 } - 33 n - 1456 = 0$$

Lös ut n

$$n = \frac{\sqrt{5945} + 11}{6} \approx 14,683971017$$

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}\approx -11,017304351$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -33 och c med -1456 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrera -33.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-36\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med -1456.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+52416}}{2\times 9}$$

Addera 1089 till 52416.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{53505}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 53505.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Motsatsen till -33 är 33.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} när ± är plus. Addera 33 till 3\sqrt{5945}.

$$n=\frac{3\sqrt{5945}+33}{18}$$

Dela 33+3\sqrt{5945} med 18.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{5945} från 33.

$$n=\frac{33-3\sqrt{5945}}{18}$$

Dela 33-3\sqrt{5945} med 18.

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Addera 1456 till båda ekvationsled.

$$9n^{2}-33n-1456-\left(-1456\right)=-\left(-1456\right)$$

Subtraktion av -1456 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9n^{2}-33n=-\left(-1456\right)$$

Subtrahera -1456 från 0.

$$9n^{2}-33n=1456$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9n^{2}-33n}{9}=\frac{1456}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$n^{2}+\left(-\frac{33}{9}\right)n=\frac{1456}{9}$$

Minska bråktalet \frac{-33}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{1456}{9}$$

Dividera -\frac{11}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{11}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{11}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1456}{9}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{11}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{1456}{9}+\frac{121}{36}$$

Addera \frac{1456}{9} till \frac{121}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{5945}{36}$$

Faktorisera n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{5945}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5945}{36}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{5945}}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{5945}}{6}$$

Addera \frac{11}{6} till båda ekvationsled.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$