Lös 9a^2+24a+16=0

$$9 a ^ { 2 } + 24 a + 16 = 0$$

Lös ut a

$$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 9a^{2}+aa+ba+16. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Lösningen är det par som ger Summa 24.

$$a=12 b=12$$

Skriv om 9a^{2}+24a+16 som \left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right).

$$\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)$$

Utfaktor 3a i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$3a\left(3a+4\right)+4\left(3a+4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3a+4 genom att använda distributivitet.

$$\left(3a+4\right)\left(3a+4\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(3a+4\right)^{2}$$

Lös 3a+4=0 för att hitta ekvationslösning.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med 24 och c med 16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Kvadrera 24.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 16.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Addera 576 till -576.

$$a=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$a=-\frac{24}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$a=-\frac{24}{18}$$

Minska bråktalet \frac{-24}{18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Subtrahera 16 från båda ekvationsled.

$$9a^{2}+24a+16-16=-16$$

Subtraktion av 16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9a^{2}+24a=-16$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9a^{2}+24a}{9}=-\frac{16}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$a^{2}+\frac{24}{9}a=-\frac{16}{9}$$

Minska bråktalet \frac{24}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a=-\frac{16}{9}$$

Dividera \frac{8}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{4}{3}. Addera sedan kvadraten av \frac{4}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{4}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Addera -\frac{16}{9} till \frac{16}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=0$$

Faktorisera a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Förenkla.

$$a+\frac{4}{3}=0 a+\frac{4}{3}=0$$

Subtrahera \frac{4}{3} från båda ekvationsled.

$$a=-\frac{4}{3} a=-\frac{4}{3}$$

Ekvationen har lösts. Lösningarna är samma.

$$a=-\frac{4}{3}$$