Lös 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

Lös ut x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 9x^{2}+ax+bx+4. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Lösningen är det par som ger Summa -12.

$$a=-6 b=-6$$

Skriv om 9x^{2}-12x+4 som \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den -2 i den andra gruppen.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

Lös 3x-2=0 för att hitta ekvationslösning.

$$x=\frac{2}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -12 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kvadrera -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Addera 144 till -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Motsatsen till -12 är 12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$x=\frac{12}{18}$$

Minska bråktalet \frac{12}{18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9x^{2}-12x=-4$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Minska bråktalet \frac{-12}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Dividera -\frac{4}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{2}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{2}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{2}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Addera -\frac{4}{9} till \frac{4}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Faktorisera x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Förenkla.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Addera \frac{2}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Ekvationen har lösts. Lösningarna är samma.

$$x=\frac{2}{3}$$