Lös 8x+2-3x^2+1=35-x^2

$$8 x + 2 - 3 x ^ { 2 } + 1 = 35 - x ^ { 2 }$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=2+2\sqrt{3}i\approx 2+3,464101615i$$

$$x=-2\sqrt{3}i+2\approx 2-3,464101615i$$

Steg med lösningsformeln

Addera 2 och 1 för att få 3.

$$8x+3-3x^{2}=35-x^{2}$$

Subtrahera 35 från båda led.

$$8x+3-3x^{2}-35=-x^{2}$$

Subtrahera 35 från 3 för att få -32.

$$8x-32-3x^{2}=-x^{2}$$

Lägg till x^{2} på båda sidorna.

$$8x-32-3x^{2}+x^{2}=0$$

Slå ihop -3x^{2} och x^{2} för att få -2x^{2}.

$$8x-32-2x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-2x^{2}+8x-32=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -2, b med 8 och c med -32 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-2\right)\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrera 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-2\right)\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera -4 med -2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+8\left(-32\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 8 med -32.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-256}}{2\left(-2\right)}$$

Addera 64 till -256.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2\left(-2\right)}$$

Dra kvadratroten ur -192.

$$x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 2 med -2.

$$x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4} när ± är plus. Addera -8 till 8i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8+8\sqrt{3}i}{-4}$$

Dela -8+8i\sqrt{3} med -4.

$$x=-2\sqrt{3}i+2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-8±8\sqrt{3}i}{-4} när ± är minus. Subtrahera 8i\sqrt{3} från -8.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}i-8}{-4}$$

Dela -8-8i\sqrt{3} med -4.

$$x=2+2\sqrt{3}i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-2\sqrt{3}i+2 x=2+2\sqrt{3}i$$

Steg för kvadratkomplettering

Addera 2 och 1 för att få 3.

$$8x+3-3x^{2}=35-x^{2}$$

Lägg till x^{2} på båda sidorna.

$$8x+3-3x^{2}+x^{2}=35$$

Slå ihop -3x^{2} och x^{2} för att få -2x^{2}.

$$8x+3-2x^{2}=35$$

Subtrahera 3 från båda led.

$$8x-2x^{2}=35-3$$

Subtrahera 3 från 35 för att få 32.

$$8x-2x^{2}=32$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+8x=32$$

Dividera båda led med -2.

$$\frac{-2x^{2}+8x}{-2}=\frac{32}{-2}$$

Division med -2 tar ut multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{8}{-2}x=\frac{32}{-2}$$

Dela 8 med -2.

$$x^{2}-4x=\frac{32}{-2}$$

Dela 32 med -2.

$$x^{2}-4x=-16$$

Dividera -4, koefficienten för termen x, med 2 för att få -2. Addera sedan kvadraten av -2 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-16+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrera -2.

$$x^{2}-4x+4=-16+4$$

Addera -16 till 4.

$$x^{2}-4x+4=-12$$

Faktorisera x^{2}-4x+4. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=-12$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-12}$$

Förenkla.

$$x-2=2\sqrt{3}i x-2=-2\sqrt{3}i$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$x=2+2\sqrt{3}i x=-2\sqrt{3}i+2$$