Lös 772-2x^2+x-1leq0

$$772 - 2 x ^ { 2 } + x - 1 \leq 0$$

Lös ut x

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{6169}}{4}]\cup [\frac{\sqrt{6169}+1}{4},\infty)$$

Steg med lösningsformeln

Subtrahera 1 från 772 för att få 771.

$$771-2x^{2}+x\leq 0$$

Multiplicera olikheten med -1 för att göra koefficienten av den högsta potensen i 771-2x^{2}+x positiv. Eftersom -1 är negativt, ändras olikhetens riktning.

$$-771+2x^{2}-x\geq 0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$-771+2x^{2}-x=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 2 med a, -1 med b och -771 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-771\right)}}{2\times 2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4}$$

Lös ekvationen x=\frac{1±\sqrt{6169}}{4} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{6169}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\right)\geq 0$$

För att produkten ska kunna ≥0 måste x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} och x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} ha både ≤0 eller båda ≥0. Behandla ärendet när x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} och x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} är ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}$$

Tänk på när x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4} och x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4} är ≥0.

$$x-\frac{1-\sqrt{6169}}{4}\geq 0 x-\frac{\sqrt{6169}+1}{4}\geq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}.

$$x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{6169}}{4}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{6169}+1}{4}$$