Lös 7n^2+39n-18=0

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

Lös ut n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 7n^{2}+an+bn-18. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Lösningen är det par som ger Summa 39.

$$a=-3 b=42$$

Skriv om 7n^{2}+39n-18 som \left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right).

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

Utfaktor n i den första och den 6 i den andra gruppen.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 7n-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

Lös 7n-3=0 och n+6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 7, b med 39 och c med -18 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrera 39.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicera -4 med 7.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicera -28 med -18.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

Addera 1521 till 504.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Dra kvadratroten ur 2025.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

Multiplicera 2 med 7.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-39±45}{14} när ± är plus. Addera -39 till 45.

$$n=\frac{6}{14}$$

Minska bråktalet \frac{6}{14} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$n=\frac{3}{7}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-39±45}{14} när ± är minus. Subtrahera 45 från -39.

$$n=-\frac{84}{14}$$

Dela -84 med 14.

$$n=-6$$

Ekvationen har lösts.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Addera 18 till båda ekvationsled.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Subtraktion av -18 från sig självt ger 0 som resultat.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

Subtrahera -18 från 0.

$$7n^{2}+39n=18$$

Dividera båda led med 7.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

Division med 7 tar ut multiplikationen med 7.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

Dividera \frac{39}{7}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{39}{14}. Addera sedan kvadraten av \frac{39}{14} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{39}{14} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

Addera \frac{18}{7} till \frac{1521}{196} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

Faktorisera n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Förenkla.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

Subtrahera \frac{39}{14} från båda ekvationsled.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$