Lös 6-x^2+4x-3geq0

$$6 - x ^ { 2 } + 4 x - 3 \geq 0$$

Lös ut x

$$x\in \begin{bmatrix}2-\sqrt{7},\sqrt{7}+2\end{bmatrix}$$

Steg med lösningsformeln

Subtrahera 3 från 6 för att få 3.

$$3-x^{2}+4x\geq 0$$

Multiplicera olikheten med -1 för att göra koefficienten av den högsta potensen i 3-x^{2}+4x positiv. Eftersom -1 är negativt, ändras olikhetens riktning.

$$-3+x^{2}-4x\leq 0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$-3+x^{2}-4x=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -4 med b och -3 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Lös ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\leq 0$$

För att produkten skall kunna ≤0 måste ett av värdena x-\left(\sqrt{7}+2\right) och x-\left(2-\sqrt{7}\right) ≥0 och den andra vara ≤0. Tänk på fallet när x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0 och x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Tänk på fallet när x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 och x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left[2-\sqrt{7},\sqrt{7}+2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}2-\sqrt{7},\sqrt{7}+2\end{bmatrix}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \begin{bmatrix}2-\sqrt{7},\sqrt{7}+2\end{bmatrix}$$