Lös 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 6x^{2}+ax+bx-7. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 19.

$$a=-2 b=21$$

Skriv om 6x^{2}+19x-7 som \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 7 i den andra gruppen.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Lös 3x-1=0 och 2x+7=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 6, b med 19 och c med -7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrera 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -4 med 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplicera -24 med -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Addera 361 till 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Dra kvadratroten ur 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Multiplicera 2 med 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-19±23}{12} när ± är plus. Addera -19 till 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Minska bråktalet \frac{4}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-19±23}{12} när ± är minus. Subtrahera 23 från -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-42}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Addera 7 till båda ekvationsled.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Subtraktion av -7 från sig självt ger 0 som resultat.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Subtrahera -7 från 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Dividera båda led med 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Division med 6 tar ut multiplikationen med 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Dividera \frac{19}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{19}{12}. Addera sedan kvadraten av \frac{19}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{19}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Addera \frac{7}{6} till \frac{361}{144} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Subtrahera \frac{19}{12} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$