Lös 5x^2-x+7=0

$$5 x ^ { 2 } - x + 7 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10}\approx 0,1+1,178982612i$$

$$x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}\approx 0,1-1,178982612i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-x+7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -1 och c med 7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\times 7}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 7.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-140}}{2\times 5}$$

Addera 1 till -140.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-139}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur -139.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{139}i}{2\times 5}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{139}i}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10} när ± är plus. Addera 1 till i\sqrt{139}.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{139} från 1.

$$x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10} x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x+7=0$$

Subtrahera 7 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}-x+7-7=-7$$

Subtraktion av 7 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-x=-7$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=-\frac{7}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Dividera -\frac{1}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-\frac{7}{5}+\frac{1}{100}$$

Addera -\frac{7}{5} till \frac{1}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-\frac{139}{100}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=-\frac{139}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{139}{100}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{139}i}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{139}i}{10}$$

Addera \frac{1}{10} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10} x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$