Lös 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 5x^{2}+ax+bx-16. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Lösningen är det par som ger Summa -2.

$$a=-10 b=8$$

Skriv om 5x^{2}-2x-16 som \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Utfaktor 5x i den första och den 8 i den andra gruppen.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Lös x-2=0 och 5x+8=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -2 och c med -16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Addera 4 till 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±18}{10} när ± är plus. Addera 2 till 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Dela 20 med 10.

$$x=2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±18}{10} när ± är minus. Subtrahera 18 från 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Minska bråktalet \frac{-16}{10} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Addera 16 till båda ekvationsled.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Subtraktion av -16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Subtrahera -16 från 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Dividera -\frac{2}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{5}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Addera \frac{16}{5} till \frac{1}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Addera \frac{1}{5} till båda ekvationsled.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$