Lös 5x^2-2x+1=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i=0,2+0,4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i=0,2-0,4i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -2 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20}}{2\times 5}$$

Addera 4 till -20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-16}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4i}{2\times 5}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±4i}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{2±4i}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±4i}{10} när ± är plus. Addera 2 till 4i.

$$x=\frac{2+4i}{10}$$

Dela 2+4i med 10.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±4i}{10} när ± är minus. Subtrahera 4i från 2.

$$x=\frac{2-4i}{10}$$

Dela 2-4i med 10.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$5x^{2}-2x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5x^{2}-2x=-1$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Dividera -\frac{2}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{5}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}$$

Addera -\frac{1}{5} till \frac{1}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{4}{25}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{25}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}i$$

Addera \frac{1}{5} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$