Lös 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Lös ut t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med -72 och c med -108 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera -72.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Addera 5184 till 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Motsatsen till -72 är 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} när ± är plus. Addera 72 till 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Dela 72+12\sqrt{51} med 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} när ± är minus. Subtrahera 12\sqrt{51} från 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Dela 72-12\sqrt{51} med 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Addera 108 till båda ekvationsled.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Subtraktion av -108 från sig självt ger 0 som resultat.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Subtrahera -108 från 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Dividera -\frac{72}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{36}{5}. Addera sedan kvadraten av -\frac{36}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{36}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Addera \frac{108}{5} till \frac{1296}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Faktorisera t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Förenkla.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Addera \frac{36}{5} till båda ekvationsled.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$