Lös 5x^2-36x-81

$$5 { x }^{ 2 } -36x-81$$

Faktorisera

$$\left(x-9\right)\left(5x+9\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 5x^{2}+ax+bx-81. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-36 ab=5\left(-81\right)=-405$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -405.

$$1,-405 3,-135 5,-81 9,-45 15,-27$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-405=-404 3-135=-132 5-81=-76 9-45=-36 15-27=-12$$

Lösningen är det par som ger Summa -36.

$$a=-45 b=9$$

Skriv om 5x^{2}-36x-81 som \left(5x^{2}-45x\right)+\left(9x-81\right).

$$\left(5x^{2}-45x\right)+\left(9x-81\right)$$

Utfaktor 5x i den första och den 9 i den andra gruppen.

$$5x\left(x-9\right)+9\left(x-9\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-9 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-9\right)\left(5x+9\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-36x-81=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 5\left(-81\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrera -36.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 5\left(-81\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-20\left(-81\right)}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med -81.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296+1620}}{2\times 5}$$

Addera 1296 till 1620.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{2916}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur 2916.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±54}{2\times 5}$$

Motsatsen till -36 är 36.

$$x=\frac{36±54}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$x=\frac{36±54}{10}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{36±54}{10} när ± är plus. Addera 36 till 54.

$$x=\frac{90}{10}$$

Dela 90 med 10.

$$x=9$$

Lös nu ekvationen x=\frac{36±54}{10} när ± är minus. Subtrahera 54 från 36.

$$x=-\frac{18}{10}$$

Minska bråktalet \frac{-18}{10} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med 9 och x_{2} med -\frac{9}{5}.

$$5x^{2}-36x-81=5\left(x-9\right)\left(x-\left(-\frac{9}{5}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$5x^{2}-36x-81=5\left(x-9\right)\left(x+\frac{9}{5}\right)$$

Addera \frac{9}{5} till x genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$5x^{2}-36x-81=5\left(x-9\right)\times \frac{5x+9}{5}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 5 i 5 och 5.

$$5x^{2}-36x-81=\left(x-9\right)\left(5x+9\right)$$

Beräkna

$$\left(x-9\right)\left(5x+9\right)$$